Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x}{x + 1} > 6 x$

Etapa 1

Subtraia $6 x$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x}{x + 1} - 6 x > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x}{x + 1} - 6 x$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 6 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} - 6 x \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Etapa 2.2

Combine $- 6 x$ e $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} + \frac{- 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Fatore $x$ de $x - 6 x (x + 1)$ .

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Etapa 2.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4.1.3

Fatore $x$ de $- 6 x (x + 1)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))$ .

$\frac{x (1 - 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (1 - 6 x - 6 \cdot 1)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{x (1 - 6 x - 6)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.4.4

Subtraia $6$ de $1$ .

$\frac{x (- 6 x - 5)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- 6 x$ .

$\frac{x (- (6 x) - 5)}{x + 1} > 0$

Etapa 2.6

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{x (- (6 x) - 1 (5))}{x + 1} > 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (6 x) - 1 (5)$ .

$\frac{x (- (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- (6 x + 5)$ como $- 1 (6 x + 5)$ .

$\frac{x (- 1 (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$- x = 0$

$6 x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- x = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- x = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x = 0$

Etapa 5

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$6 x = - 5$

Etapa 6

Divida cada termo em $6 x = - 5$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $6 x = - 5$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{6}$

Etapa 7

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - \frac{5}{6}$

$x = - 1$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 0, - \frac{5}{6}, - 1$

Etapa 10

Encontre o domínio de $- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ .

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Etapa 10.1

Defina o denominador em $\frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 1 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$

$- \frac{5}{6} < x < 0$

$x > 0$

Etapa 12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 12.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{- 4}{(- 4) + 1} > 6 (- 4)$

Etapa 12.1.3

O lado esquerdo $1.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $- 24$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.92$

Etapa 12.2.2

Substitua $x$ por $- 0.92$ na desigualdade original.

$\frac{- 0.92}{(- 0.92) + 1} > 6 (- 0.92)$

Etapa 12.2.3

O lado esquerdo $- 11.5$ não é maior do que o lado direito $- 5.52$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{5}{6} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{5}{6} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.42$

Etapa 12.3.2

Substitua $x$ por $- 0.42$ na desigualdade original.

$\frac{- 0.42}{(- 0.42) + 1} > 6 (- 0.42)$

Etapa 12.3.3

O lado esquerdo $- 0.72413793$ é maior do que o lado direito $- 2.52$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 12.4

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 12.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(2) + 1} > 6 (2)$

Etapa 12.4.3

O lado esquerdo $0.\overline{6}$ não é maior do que o lado direito $12$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Falso

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Falso

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 1$ ou $- \frac{5}{6} < x < 0$

Etapa 14

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 1) \cup (- \frac{5}{6}, 0)$

Etapa 15