Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \cdot 1 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Etapa 4.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 11 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 - 6$

Etapa 4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 + 11 \cdot 1 - 7 \cdot 1 - 6$

Etapa 4.1.4

Multiplique $11$ por $1$ .

$2 + 11 - 7 \cdot 1 - 6$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$2 + 11 - 7 - 6$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Some $2$ e $11$ .

$13 - 7 - 6$

Etapa 4.2.2

Subtraia $7$ de $13$ .

$6 - 6$

Etapa 4.2.3

Subtraia $6$ de $6$ .

$0$

Etapa 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{x - 1}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(11)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$
	$2$	$13$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(13)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(13)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 7)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$
	$2$	$13$	$6$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(6)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(6)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 6)$ .

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$2$	$11$	$- 7$	$- 6$
		$2$	$13$	$6$
	$2$	$13$	$6$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + 13 x + 6$

Etapa 7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ e cuja soma é $b = 13$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $13$ de $13 x$ .

$(x - 1) + 2 x^{2} + 13 (x) + 6$

Etapa 7.1.2

Reescreva $13$ como $1$ mais $12$

$(x - 1) + 2 x^{2} + (1 + 12) x + 6$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) + 2 x^{2} + 1 x + 12 x + 6$

Etapa 7.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x - 1) + 2 x^{2} + x + 12 x + 6$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) (2 x^{2} + x) + 12 x + 6$

Etapa 7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) + x (2 x + 1) + 6 (2 x + 1)$

Etapa 7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(x - 1) + (2 x + 1) (x + 6)$

$(x - 1) (2 x + 1) (x + 6)$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 8.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 8.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Etapa 8.1.3

Substitua $- 0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 0.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 8.1.3.1

Substitua $- 0.5$ no polinômio.

$2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Etapa 8.1.3.2

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Etapa 8.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 0.125$ .

$- 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Etapa 8.1.3.4

Eleve $- 0.5$ à potência de $2$ .

$- 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Etapa 8.1.3.5

Multiplique $11$ por $0.25$ .

$- 0.25 + 2.75 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Etapa 8.1.3.6

Some $- 0.25$ e $2.75$ .

$2.5 - 7 \cdot - 0.5 - 6$

Etapa 8.1.3.7

Multiplique $- 7$ por $- 0.5$ .

$2.5 + 3.5 - 6$

Etapa 8.1.3.8

Some $2.5$ e $3.5$ .

$6 - 6$

Etapa 8.1.3.9

Subtraia $6$ de $6$ .

$0$

Etapa 8.1.4

Como $- 0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6}{2 x + 1}$

Etapa 8.1.5

Divida $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ por $2 x + 1$ .

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Etapa 8.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$7 x$

$6$

Etapa 8.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$

Etapa 8.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 8.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 8.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Etapa 8.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 8.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 8.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 8.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x^{2} + 5 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 8.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$

Etapa 8.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Etapa 8.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$

Etapa 8.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							-	$12 x$	-	$6$

Etapa 8.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 12 x - 6$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$

Etapa 8.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$7 x$	-	$6$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	-	$6$
							+	$12 x$	+	$6$
										$0$

Etapa 8.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 5 x - 6$

Etapa 8.1.6

Escreva $2 x^{3} + 11 x^{2} - 7 x - 6$ como um conjunto de fatores.

$(2 x + 1) (x^{2} + 5 x - 6) = 0$

Etapa 8.2

Fatore $x^{2} + 5 x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 8.2.1

Fatore $x^{2} + 5 x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 8.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $5$ .

$- 1, 6$

Etapa 8.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(2 x + 1) ((x - 1) (x + 6)) = 0$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 10

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 11

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 11.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 12

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (x - 1) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 1, - 6$

Etapa 14