Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - \frac{1}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.3

Multiplique $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.6.1

Fatore $2$ de $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.6.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.10

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.11

Multiplique $- 7 (- \frac{1}{8})$ .

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Etapa 4.1.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{1}{8} + 7 (\frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.11.2

Combine $7$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.12

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.12.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.12.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.13

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.14

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.15

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.16

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (\frac{1}{4}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.17

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.17.1

Fatore $4$ de $- 8$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 (- 2) \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.17.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 \cdot - 2 \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.17.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.18

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.18.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Etapa 4.1.18.2

Fatore $2$ de $14$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 (7) \frac{- 1}{2} + 8$

Etapa 4.1.18.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 \cdot 7 \frac{- 1}{2} + 8$

Etapa 4.1.18.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 7 \cdot - 1 + 8$

Etapa 4.1.19

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 - 7 + 8$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 - 7 + 8 + \frac{1 + 7}{8}$

Etapa 4.2.2

Some $1$ e $7$ .

$- 2 - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Etapa 4.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.3.1

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 2}{1} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Etapa 4.3.4

Escreva $- 7$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} + 8 + \frac{8}{8}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Etapa 4.3.7

Escreva $8$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} + \frac{8}{8}$

Etapa 4.3.8

Multiplique $\frac{8}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{8}{8}$

Etapa 4.3.9

Multiplique $\frac{8}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{8}{8}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 \cdot 8 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$\frac{- 16 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $- 7$ por $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $8$ por $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 64 + 8}{8}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Subtraia $56$ de $- 16$ .

$\frac{- 72 + 64 + 8}{8}$

Etapa 4.6.2

Some $- 72$ e $64$ .

$\frac{- 8 + 8}{8}$

Etapa 4.6.3

Some $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{8}$

Etapa 4.6.4

Divida $0$ por $8$ .

$0$

Etapa 5

Como $- \frac{1}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + \frac{1}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8}{x + \frac{1}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- \frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 7)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$	$- 8$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 8)$ pelo divisor $(- \frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(- \frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(14)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(16)$ pelo divisor $(- \frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- 8)$ sob o próximo termo no dividendo $(8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{3} + - 8 x^{2} + (- 4) x + 16$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$

Etapa 7

Fatore $2$ de $2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $2 x^{3}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 8 x^{2} - 4 x + 16)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $- 8 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4 x + 16)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16)$

Etapa 7.4

Fatore $2$ de $16$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Etapa 7.6

Fatore $2$ de $2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8)$

Etapa 7.7

Fatore $2$ de $2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8))$

Etapa 8

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8))$

Etapa 8.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)))$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 4$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x - 4) (x^{2} - 2)))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x - 4) (x^{2} - 2))$

Etapa 10

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 10.1

Reagrupe os termos.

$- 7 x^{3} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 10.2

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x^{3} + 14 x$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 10.2.2

Fatore $- 7 x$ de $14 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 10.2.3

Fatore $- 7 x$ de $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 2)$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 10.3

Fatore $2$ de $2 x^{4} - 8 x^{2} + 8$ .

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Etapa 10.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{4}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) - 8 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 10.3.2

Fatore $2$ de $- 8 x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) + 2 (- 4 x^{2}) + 8 = 0$

Etapa 10.3.3

Fatore $2$ de $8$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 10.3.4

Fatore $2$ de $2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Etapa 10.3.5

Fatore $2$ de $2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 10.4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 10.5

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Etapa 10.6

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 10.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Etapa 10.6.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Etapa 10.6.3

Reescreva o polinômio.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 10.6.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 2$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(u - 2)}^{2} = 0$

Etapa 10.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Etapa 10.8

Fatore $x^{2} - 2$ de $- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

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Etapa 10.8.1

Fatore $x^{2} - 2$ de $- 7 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Etapa 10.8.2

Fatore $x^{2} - 2$ de $2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2)) = 0$

Etapa 10.8.3

Fatore $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 (x^{2} - 2)) = 0$

Etapa 10.9

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Etapa 10.10

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} - 4) = 0$

Etapa 10.11

Reordene os termos.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Etapa 10.12

Fatore.

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Etapa 10.12.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 10.12.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 10.12.1.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 x$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Etapa 10.12.1.1.2

Reescreva $- 7$ como $1$ mais $- 8$

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + (1 - 8) x - 4) = 0$

Etapa 10.12.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + 1 x - 8 x - 4) = 0$

Etapa 10.12.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + x - 8 x - 4) = 0$

Etapa 10.12.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.12.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} - 2) ((2 x^{2} + x) - 8 x - 4) = 0$

Etapa 10.12.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} - 2) (x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1)) = 0$

Etapa 10.12.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(x^{2} - 2) ((2 x + 1) (x - 4)) = 0$

Etapa 10.12.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 12

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 12.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 12.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 12.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 12.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 13

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 13.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 13.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 13.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 13.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 14

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 14.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, - 0.5, 4$

Etapa 17