Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm 7, \pm \frac{7}{3}, \pm 25, \pm \frac{25}{3}, \pm 35, \pm \frac{35}{3}, \pm 175, \pm \frac{175}{3}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$3 {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 5$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$3 \cdot 125 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Etapa 4.1.2

Multiplique $3$ por $125$ .

$375 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

Etapa 4.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$375 - 7 \cdot 25 - 75 \cdot 5 + 175$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 7$ por $25$ .

$375 - 175 - 75 \cdot 5 + 175$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 75$ por $5$ .

$375 - 175 - 375 + 175$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $175$ de $375$ .

$200 - 375 + 175$

Etapa 4.2.2

Subtraia $375$ de $200$ .

$- 175 + 175$

Etapa 4.2.3

Some $- 175$ e $175$ .

$0$

Etapa 5

Como $5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175}{x - 5}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(3)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

	$3$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(15)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 7)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$	$8$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(40)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 75)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$	$- 35$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 35)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(- 175)$ sob o próximo termo no dividendo $(175)$ .

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$3 x^{2} + 8 x - 35$

Etapa 7

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 35 = - 105$ e cuja soma é $b = 8$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$(x - 5) + 3 x^{2} + 8 (x) - 35$

Etapa 7.1.2

Reescreva $8$ como $- 7$ mais $15$

$(x - 5) + 3 x^{2} + (- 7 + 15) x - 35$

Etapa 7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 5) + 3 x^{2} - 7 x + 15 x - 35$

Etapa 7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 5) (3 x^{2} - 7 x) + 15 x - 35$

Etapa 7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 5) + x (3 x - 7) + 5 (3 x - 7)$

Etapa 7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 7$ .

$(x - 5) + (3 x - 7) (x + 5)$

$(x - 5) (3 x - 7) (x + 5)$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{3} - 7 x^{2}) - 75 x + 175 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (3 x - 7) - 25 (3 x - 7) = 0$

Etapa 8.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x^{2} - 25) = 0$

Etapa 8.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(3 x - 7) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Etapa 8.4

Fatore.

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Etapa 8.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(3 x - 7) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 8.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 10

Defina $3 x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $3 x - 7$ como igual a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $3 x - 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$3 x = 7$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Etapa 11

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 11.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 12

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 12.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{7}{3}, - 5, 5$

Etapa 14