Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 9$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = x^{4} - 10 x^{2} + 9$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ .

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$

Etapa 1.2.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 1.2.3

Fatore $u^{2} - 10 u + 9$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $9$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 9, - 1$

Etapa 1.2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $u - 9$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $u - 9$ como igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$u = 9$

Etapa 1.2.6

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 9) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 9, 1$

Etapa 1.2.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 1.2.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 1.2.10

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 1.2.10.2

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 1.2.10.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.10.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 1.2.10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 1.2.10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 1.2.10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 1.2.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 1.2.12

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.12.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.2.13

A solução para $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ é $x = 3, - 3, 1, - 1$ .

$x = 3, - 3, 1, - 1$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(3, 0), (- 3, 0), (1, 0), (- 1, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 10 \cdot 0^{2} + 9$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9$

Etapa 2.2.4

Simplifique ${(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 10 {(0)}^{2} + 9$

Etapa 2.2.4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 10 \cdot 0 + 9$

Etapa 2.2.4.1.3

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 9$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 9$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $9$ .

$y = 9$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, 9)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(3, 0), (- 3, 0), (1, 0), (- 1, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, 9)$

Etapa 4