Pré-cálculo Exemplos

$2^{7 - 3 x} = \frac{1}{4}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{1}{4}$ dos dois lados da equação.

$2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 2

Simplifique $2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $2^{7 - 3 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2^{7 - 3 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 2.2

Combine $2^{7 - 3 x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4 - 1}{4} = 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 2^{2} - 1}{4} = 0$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{7 - 3 x + 2} - 1}{4} = 0$

Etapa 2.4.3

Some $7$ e $2$ .

$\frac{2^{- 3 x + 9} - 1}{4} = 0$

Etapa 2.4.4

Reescreva $2^{- 3 x + 9}$ como ${(2^{- x + 3})}^{3}$ .

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1}{4} = 0$

Etapa 2.4.5

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1^{3}}{4} = 0$

Etapa 2.4.6

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 2^{- x + 3}$ e $b = 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) ({(2^{- x + 3})}^{2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Etapa 2.4.7

Simplifique.

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Etapa 2.4.7.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{- x + 3})}^{2}$ .

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Etapa 2.4.7.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{(- x + 3) \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Etapa 2.4.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- x \cdot 2 + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Etapa 2.4.7.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Etapa 2.4.7.1.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Etapa 2.4.7.2

Multiplique $2^{- x + 3}$ por $1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1^{2})}{4} = 0$

Etapa 2.4.7.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)}{4} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Simplifique $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ .

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Etapa 4.1.1

Expanda $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1.2.1

Combine os termos opostos em $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $2^{- x + 3} \cdot 1$ e $- 1 \cdot 2^{- x + 3}$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.1.2

Subtraia $1 \cdot 2^{- x + 3}$ de $1 \cdot 2^{- x + 3}$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 0 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.1.3

Some $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3}$ e $0$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $2^{- x + 3}$ por $2^{- 2 x + 6}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{- x + 3 - 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.2.1.2

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$2^{- 3 x + 3 + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.2.1.3

Some $3$ e $6$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $2^{- x + 3}$ por $2^{- x + 3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.2.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3 - x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.2.2.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 3 + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.2.2.3

Some $3$ e $3$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.2.3

Reescreva $- 1 \cdot 2^{- 2 x + 6}$ como $- 2^{- 2 x + 6}$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 = 0$

Etapa 4.1.2.3

Combine os termos opostos em $2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Subtraia $2^{- 2 x + 6}$ de $2^{- 2 x + 6}$ .

$2^{- 3 x + 9} + 0 - 1 = 0$

Etapa 4.1.2.3.2

Some $2^{- 3 x + 9}$ e $0$ .

$2^{- 3 x + 9} - 1 = 0$

Etapa 4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2^{- 3 x + 9} = 1$

Etapa 4.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{- 3 x + 9}) = \ln (1)$

Etapa 4.4

Expanda $\ln (2^{- 3 x + 9})$ movendo $- 3 x + 9$ para fora do logaritmo.

$(- 3 x + 9) \ln (2) = \ln (1)$

Etapa 4.5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = \ln (1)$

Etapa 4.6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.6.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = 0$

Etapa 4.7

Subtraia $9 \ln (2)$ dos dois lados da equação.

$- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$

Etapa 4.8

Divida cada termo em $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ por $- 3 \ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 4.8.1

Divida cada termo em $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ por $- 3 \ln (2)$ .

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Etapa 4.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.8.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 4.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Etapa 4.8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Etapa 4.8.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 4.8.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Etapa 4.8.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Etapa 4.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.8.3.1

Cancele o fator comum de $- 9$ e $- 3$ .

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Etapa 4.8.3.1.1

Fatore $- 3$ de $- 9 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Etapa 4.8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.8.3.1.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Etapa 4.8.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Etapa 4.8.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 4.8.3.2

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 4.8.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 4.8.3.2.2

Divida $3$ por $1$ .

$x = 3$