Pré-cálculo Exemplos

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{\sqrt{3}}{2}$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Etapa 2

Some $\frac{\sqrt{3}}{2}$ aos dois lados da equação.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{3}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{3}$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.1.2

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 7.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 3$ .

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Etapa 7.1.4.1

Reordene $π$ e $3$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 7.1.4.2

Subtraia $π$ de $3 \cdot π$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{2 \cdot π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 8

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 8.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 9

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$