Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4$

Etapa 1

Defina $x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4$ como igual a $0$ .

$x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} - x^{3} - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $x^{5} - x^{3} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 2 - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 2 - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.2.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 2$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $u^{2} - u - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 2.1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u - 2) (u + 1)) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2) (x^{2} + 1)) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $2$ de $- 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{4}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 10 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore $2$ de $10 x^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) - 4 = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore $2$ de $- 4$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 2) = 0$

Etapa 2.1.7.4

Fatore $2$ de $2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2})$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 (- 2) = 0$

Etapa 2.1.7.5

Fatore $2$ de $2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.8

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.9

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 5 u - 2) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot - 2 = 4$ e cuja soma é $b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1.1

Fatore $5$ de $5 u$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 5 (u) - 2) = 0$

Etapa 2.1.10.1.2

Reescreva $5$ como $1$ mais $4$

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + (1 + 4) u - 2) = 0$

Etapa 2.1.10.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 1 u + 4 u - 2) = 0$

Etapa 2.1.10.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + u + 4 u - 2) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 u^{2} + u) + 4 u - 2) = 0$

Etapa 2.1.10.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (u (- 2 u + 1) - 2 (- 2 u + 1)) = 0$

Etapa 2.1.10.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 u + 1$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 u + 1) (u - 2)) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.12

Fatore $x^{2} - 2$ de $x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.12.1

Fatore $x^{2} - 2$ de $x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 2.1.12.2

Fatore $x^{2} - 2$ de $2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + (x^{2} - 2) (2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.12.3

Fatore $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + (x^{2} - 2) (2 (- 2 x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.13

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.14

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.14.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.14.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{2} - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.14.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{2} - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.14.2

Some $1$ e $2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.15

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 2.1.16

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) = 0$

Etapa 2.1.17

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) = 0$

Etapa 2.1.18

Multiplique $2$ por $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x - 4 x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.1.19

Reordene os termos.

$(x^{2} - 2) (x^{3} - 4 x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.1.20

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.20.1

Fatore $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.20.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.20.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 2.1.20.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.20.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 1 + 2$

Etapa 2.1.20.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 1 + 2$

Etapa 2.1.20.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 1 + 2$

Etapa 2.1.20.1.3.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$1 - 4 + 1 + 2$

Etapa 2.1.20.1.3.5

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 3 + 1 + 2$

Etapa 2.1.20.1.3.6

Some $- 3$ e $1$ .

$- 2 + 2$

Etapa 2.1.20.1.3.7

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 2.1.20.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 2}{x - 1}$

Etapa 2.1.20.1.5

Divida $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ por $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.20.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 2.1.20.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

Etapa 2.1.20.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.20.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.20.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Etapa 2.1.20.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.20.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.1.20.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 2.1.20.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 3 x^{2} + 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 2.1.20.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$

Etapa 2.1.20.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.20.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.20.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.1.20.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x + 2$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.1.20.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Etapa 2.1.20.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 3 x - 2$

Etapa 2.1.20.1.6

Escreva $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ como um conjunto de fatores.

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x^{2} - 3 x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.20.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 2.3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 2.3.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 2.3.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 3 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 3 x - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Some $9$ e $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Etapa 2.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 2) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, 3.56155281 \dots, - 0.56155281 \dots$

Etapa 4