Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 81 x - 77$

Etapa 1

Defina $x^{3} - 3 x^{2} - 81 x - 77$ como igual a $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 81 x - 77 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $x^{3} - 3 x^{2} - 81 x - 77$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

Etapa 2.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 81 \cdot - 1 - 77$

Etapa 2.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 81 \cdot - 1 - 77$

Etapa 2.1.1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 - 81 \cdot - 1 - 77$

Etapa 2.1.1.3.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 1 - 3 - 81 \cdot - 1 - 77$

Etapa 2.1.1.3.5

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$- 4 - 81 \cdot - 1 - 77$

Etapa 2.1.1.3.6

Multiplique $- 81$ por $- 1$ .

$- 4 + 81 - 77$

Etapa 2.1.1.3.7

Some $- 4$ e $81$ .

$77 - 77$

Etapa 2.1.1.3.8

Subtraia $77$ de $77$ .

$0$

Etapa 2.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 81 x - 77}{x + 1}$

Etapa 2.1.1.5

Divida $x^{3} - 3 x^{2} - 81 x - 77$ por $x + 1$ .

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Etapa 2.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$81 x$

$77$

Etapa 2.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$

Etapa 2.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Etapa 2.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$

Etapa 2.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$

Etapa 2.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 2.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Etapa 2.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$77 x$

Etapa 2.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$

Etapa 2.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 77 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$77$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$

Etapa 2.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$77$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$
							-	$77 x$	-	$77$

Etapa 2.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 77 x - 77$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$77$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$
							+	$77 x$	+	$77$

Etapa 2.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$77$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$81 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$81 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$77 x$	-	$77$
							+	$77 x$	+	$77$
										$0$

Etapa 2.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 4 x - 77$

Etapa 2.1.1.6

Escreva $x^{3} - 3 x^{2} - 81 x - 77$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (x^{2} - 4 x - 77) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x^{2} - 4 x - 77$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2} - 4 x - 77$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 77$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 11, 7$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) ((x - 11) (x + 7)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 11) (x + 7) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 11 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.4

Defina $x - 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 11$ como igual a $0$ .

$x - 11 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $11$ aos dois lados da equação.

$x = 11$

Etapa 2.5

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 11) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 11, - 7$

Etapa 3