Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x^{2} + 4 x + 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.6.2

Divida $x - 2$ por $1$ .

$x - 2 = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x - 2 = \frac{A (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x + 3)$ por $1$ .

$x - 2 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 2 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.7.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$x - 2 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x - 2 = A x + 3 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + (B) (x + 1)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B \cdot 1$

Etapa 1.7.6

Multiplique $B$ por $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B$

Etapa 1.8

Mova $3 A$ .

$x - 2 = A x + B x + 3 A + B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = 3 A + B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A + B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 2 = 3 A + B$ por $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (1 - B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $- 3 B$ e $B$ .

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $- 2 = 3 - 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $3 - 2 B = - 2$ .

$3 - 2 B = - 2$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 2 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 2 B = - 5$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 2 B = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{5}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{5}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{2})$

$B = \frac{5}{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{5}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{2 - 5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Etapa 3.4.2.1.3

Subtraia $5$ de $2$ .

$A = \frac{- 3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Etapa 3.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{3}{2}, B = \frac{5}{2}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{5}{2}}{x + 3}$