Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 x + 3}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ e cuja soma é $b = - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 x$ .

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 (x) + 3}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $- 10$ como $- 4$ mais $- 6$

$\frac{x}{8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x}{8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x}{(8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x}{4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{x}{(2 x - 1) (4 x - 3)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x - 1) (4 x - 3)$ .

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $4 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.6.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{A (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (4 x - 3)$ por $1$ .

$x = (A) (4 x - 3) + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = A (4 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.7.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = 4 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.7.4

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$x = 4 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.7.5

Cancele o fator comum de $4 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$x = 4 A x - 3 A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Etapa 1.7.5.2

Divida $(B) (2 x - 1)$ por $1$ .

$x = 4 A x - 3 A + (B) (2 x - 1)$

Etapa 1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x = 4 A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Etapa 1.7.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Etapa 1.7.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Etapa 1.7.9

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - B$

Etapa 1.8

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Mova $A$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 B x - B$

Etapa 1.8.2

Mova $B$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 x B - B$

Etapa 1.8.3

Mova $- 3 A$ .

$x = 4 x A + 2 x B - 3 A - B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 4 A + 2 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = 4 A + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $4 A + 2 B = 1$ .

$4 A + 2 B = 1$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$4 A = 1 - 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.1.3

Divida cada termo em $4 A = 1 - 2 B$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Divida cada termo em $4 A = 1 - 2 B$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 B$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 (2)}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 \cdot 2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 3 A - 1 B$ por $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ .

$0 = - 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 3 (\frac{1}{4}) - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 3 (- \frac{B}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + 3 (\frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.3.2

Combine $3$ e $\frac{B}{2}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.1.5

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $- B$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $- B$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.4.1.1

Fatore $B$ de $3 B - B \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.4.1.1.1

Fatore $B$ de $3 B$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.4.1.1.2

Fatore $B$ de $- B \cdot 2$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.4.1.1.3

Fatore $B$ de $B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.4.1.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.2.2.1.4.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.3.2

Some $\frac{3}{4}$ aos dois lados da equação.

$\frac{B}{2} = \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.3.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.3.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.3.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$B = 2 (\frac{3}{2 (2)})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.3.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$B = 2 (\frac{3}{2 \cdot 2})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.3.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{3}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique $\frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$A = \frac{1}{4} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{1 - 3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$A = \frac{- 2}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$A = \frac{2 (- 1)}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{3}{2}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1} + \frac{\frac{3}{2}}{4 x - 3}$