Pré-cálculo Exemplos

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 (x) - 3}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $1$ mais $- 6$

$\frac{4}{2 x^{2} + (1 - 6) x - 3}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3}$

Etapa 1.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + x - 6 x - 3}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{4}{(2 x^{2} + x) - 6 x - 3}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{4}{x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$\frac{4}{(2 x + 1) (x - 3)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.6.2

Divida $4$ por $1$ .

$4 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$4 = \frac{A (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x - 3)$ por $1$ .

$4 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.7.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$4 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$4 = A x - 3 A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B) (2 x + 1)$ por $1$ .

$4 = A x - 3 A + (B) (2 x + 1)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 = A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot 1$

Etapa 1.7.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B \cdot 1$

Etapa 1.7.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.1

Mova $B$ .

$4 = A x - 3 A + 2 x B + B$

Etapa 1.8.2

Mova $- 3 A$ .

$4 = A x + 2 x B - 3 A + B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + 2 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = - 3 A + B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $0 = A + 2 B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$4 = - 3 A + B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 2 B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $4 = - 3 A + B$ por $- 2 B$ .

$4 = - 3 (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 3 (- 2 B) + B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$4 = 6 B + B$

$A = - 2 B$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $6 B$ e $B$ .

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $4 = 7 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $7 B = 4$ .

$7 B = 4$

$A = - 2 B$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $7 B = 4$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $7 B = 4$ por $7$ .

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{4}{7}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - 2 B$ por $\frac{4}{7}$ .

$A = - 2 (\frac{4}{7})$

$B = \frac{4}{7}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 2 (\frac{4}{7})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 2 (\frac{4}{7})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{4}{7}$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 4}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Etapa 3.4.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{8}{7}, B = \frac{4}{7}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{8}{7}}{2 x + 1} + \frac{\frac{4}{7}}{x - 3}$