Pré-cálculo Exemplos

$\frac{7 x + 116}{{(x - 4)}^{2} (x + 5)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{B}{x - 4}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{B}{x - 4} + \frac{C}{x + 5}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x - 4)}^{2} (x + 5)$ .

$\frac{(7 x + 116) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2} (x + 5)} = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de ${(x - 4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(7 x + 116) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2} (x + 5)} = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(7 x + 116) (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(7 x + 116) (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.6.2

Divida $7 x + 116$ por $1$ .

$7 x + 116 = \frac{(A) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de ${(x - 4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$7 x + 116 = \frac{A {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x + 5)$ por $1$ .

$7 x + 116 = (A) (x + 5) + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 116 = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.3

Mova $5$ para a esquerda de $A$ .

$7 x + 116 = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de ${(x - 4)}^{2}$ e $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Fatore $x - 4$ de $(B) {(x - 4)}^{2} (x + 5)$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + \frac{(x - 4) (B (x - 4) (x + 5))}{x - 4} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + \frac{(x - 4) (B (x - 4) (x + 5))}{(x - 4) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$7 x + 116 = A x + 5 A + \frac{(x - 4) (B (x - 4) (x + 5))}{(x - 4) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$7 x + 116 = A x + 5 A + \frac{B (x - 4) (x + 5)}{1} + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.4.2.4

Divida $B (x - 4) (x + 5)$ por $1$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B (x - 4) (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 116 = A x + 5 A + (B x + B \cdot - 4) (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.6

Mova $- 4$ para a esquerda de $B$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + (B x - 4 \cdot B) (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.7

Expanda $(B x - 4 B) (x + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x (x + 5) - 4 B (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 - 4 B (x + 5) + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x \cdot x + B x \cdot 5 - 4 B x - 4 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.8.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.8.1.1.1

Mova $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 5 - 4 B x - 4 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.8.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x \cdot 5 - 4 B x - 4 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.8.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $B x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 \cdot (B x) - 4 B x - 4 B \cdot 5 + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.8.1.3

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + 5 B x - 4 B x - 20 B + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.8.2

Subtraia $4 B x$ de $5 B x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + 1 B x - 20 B + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.9

Multiplique $B$ por $1$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.10

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.10.1

Cancele o fator comum.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + \frac{(C) {(x - 4)}^{2} (x + 5)}{x + 5}$

Etapa 1.7.10.2

Divida $(C) {(x - 4)}^{2}$ por $1$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + (C) {(x - 4)}^{2}$

Etapa 1.7.11

Reescreva ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C ((x - 4) (x - 4))$

Etapa 1.7.12

Expanda $(x - 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

Etapa 1.7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

Etapa 1.7.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Etapa 1.7.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.13.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Etapa 1.7.13.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Etapa 1.7.13.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

Etapa 1.7.13.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C (x^{2} - 8 x + 16)$

Etapa 1.7.14

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} + C (- 8 x) + C \cdot 16$

Etapa 1.7.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.15.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} - 8 C x + C \cdot 16$

Etapa 1.7.15.2

Mova $16$ para a esquerda de $C$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} - 8 C x + 16 \cdot C$

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} - 8 C x + 16 C$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Reordene $B$ e $x$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x - 20 B + C x^{2} - 8 C x + 16 C$

Etapa 1.8.2

Mova $- 20 B$ .

$7 x + 116 = A x + 5 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 8 C x - 20 B + 16 C$

Etapa 1.8.3

Mova $5 A$ .

$7 x + 116 = A x + B x^{2} + B x + C x^{2} - 8 C x + 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 1.8.4

Mova $B x$ .

$7 x + 116 = A x + B x^{2} + C x^{2} + B x - 8 C x + 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 1.8.5

Mova $A x$ .

$7 x + 116 = B x^{2} + C x^{2} + A x + B x - 8 C x + 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$7 = A + B - 8 C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B + C$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$0 = B + C$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $B$ em $0 = B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $B + C = 0$ .

$B + C = 0$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 3.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = - C$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$B = - C$

$7 = A + B - 8 C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $7 = A + B - 8 C$ por $- C$ .

$7 = A - C - 8 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 3.2.2

Simplifique $7 = A - C - 8 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Remova os parênteses.

$7 = A - C - 8 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$7 = A - C - 8 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $8 C$ de $- C$ .

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A - 20 B + 16 C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $116 = 5 A - 20 B + 16 C$ por $- C$ .

$116 = 5 A - 20 (- C) + 16 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Simplifique $5 A - 20 (- C) + 16 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$116 = 5 A + 20 C + 16 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.2.4.1.2

Some $20 C$ e $16 C$ .

$116 = 5 A + 36 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A + 36 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A + 36 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

$116 = 5 A + 36 C$

$7 = A - 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.3

Resolva $A$ em $7 = A - 9 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $A - 9 C = 7$ .

$A - 9 C = 7$

$116 = 5 A + 36 C$

$B = - C$

Etapa 3.3.2

Some $9 C$ aos dois lados da equação.

$A = 7 + 9 C$

$116 = 5 A + 36 C$

$B = - C$

$A = 7 + 9 C$

$116 = 5 A + 36 C$

$B = - C$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $7 + 9 C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $116 = 5 A + 36 C$ por $7 + 9 C$ .

$116 = 5 (7 + 9 C) + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique $5 (7 + 9 C) + 36 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$116 = 5 \cdot 7 + 5 (9 C) + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Multiplique $5$ por $7$ .

$116 = 35 + 5 (9 C) + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Multiplique $9$ por $5$ .

$116 = 35 + 45 C + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$116 = 35 + 45 C + 36 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $45 C$ e $36 C$ .

$116 = 35 + 81 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$116 = 35 + 81 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$116 = 35 + 81 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$116 = 35 + 81 C$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.5

Resolva $C$ em $116 = 35 + 81 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $35 + 81 C = 116$ .

$35 + 81 C = 116$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $35$ dos dois lados da equação.

$81 C = 116 - 35$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $35$ de $116$ .

$81 C = 81$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$81 C = 81$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $81 C = 81$ por $81$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $81 C = 81$ por $81$ .

$\frac{81 C}{81} = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{81 C}{81} = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = \frac{81}{81}$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Divida $81$ por $81$ .

$C = 1$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

$C = 1$

$A = 7 + 9 C$

$B = - C$

Etapa 3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $A = 7 + 9 C$ por $1$ .

$A = 7 + 9 (1)$

$C = 1$

$B = - C$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Simplifique $7 + 9 (1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Multiplique $9$ por $1$ .

$A = 7 + 9$

$C = 1$

$B = - C$

Etapa 3.6.2.1.2

Some $7$ e $9$ .

$A = 16$

$C = 1$

$B = - C$

$A = 16$

$C = 1$

$B = - C$

$A = 16$

$C = 1$

$B = - C$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = - C$ por $1$ .

$B = - (1)$

$A = 16$

$C = 1$

Etapa 3.6.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$B = - 1$

$A = 16$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 16$

$C = 1$

$B = - 1$

$A = 16$

$C = 1$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 16, C = 1$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{B}{x - 4} + \frac{C}{x + 5}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{16}{{(x - 4)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 4} + \frac{1}{x + 5}$