Pré-cálculo Exemplos

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Complete o quadrado de $- 54 x + 9 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reordene $- 54 x$ e $9 x^{2}$ .

$9 x^{2} - 54 x$

Etapa 1.1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Etapa 1.1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 54$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Fatore $2$ de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Etapa 1.1.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 27}{9}$

Etapa 1.1.4.2.2

Cancele o fator comum de $- 27$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.2.1

Fatore $9$ de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Etapa 1.1.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Etapa 1.1.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Etapa 1.1.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 3}{1}$

Etapa 1.1.4.2.2.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Etapa 1.1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.1.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1.1

Eleve $- 54$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Etapa 1.1.5.2.1.3

Divida $2916$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Etapa 1.1.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Etapa 1.1.5.2.2

Subtraia $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Etapa 1.1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Etapa 1.2

Substitua $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ por $- 54 x + 9 x^{2}$ na equação $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

Etapa 1.3

Mova $- 81$ para o lado direito da equação, somando $81$ aos dois lados.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

Etapa 1.4

Some $63$ e $81$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

Etapa 1.5

Divida cada termo por $144$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

Etapa 4

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Etapa 5

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Etapa 5.2

Simplifique $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Some $\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ e $0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Etapa 5.2.3

Combine $\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Etapa 5.2.4

Multiplique $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Etapa 5.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

Etapa 6

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Etapa 6.2

Simplifique $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Some $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ e $0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Etapa 6.2.3

Combine $x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Etapa 6.2.4

Multiplique $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

Etapa 6.2.4.2

Combine $3$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

Etapa 6.2.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 6.2.5

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 7

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 8

As assíntotas são $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ e $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ .

Assíntotas: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 9