Pré-cálculo Exemplos

$R (x) = \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - x - 2}$ é indefinida.

$x = - 1, x = 2$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - x - 2}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - x - 2}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 1$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 6.1.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 6.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.1.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 6.1.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 6.1.2

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 6.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 1}$

Etapa 6.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

Etapa 6.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$

Etapa 6.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 6.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 6.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

Etapa 6.7

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$

Etapa 6.8

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$

Etapa 6.9

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$
					+	$x$	+	$1$

Etapa 6.10

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 6.11

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$
					-	$x$	-	$1$
							+	$3$

Etapa 6.12

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + 1 + \frac{3}{x + 1}$

Etapa 6.13

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$x + 1 + \frac{3 x - 6}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 6.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x + 1$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x + 1$

Etapa 8