Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ é indefinida.

$x = - \frac{1}{2}, x = 2$

Etapa 2

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ a partir da esquerda e $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 3

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $2$ a partir da esquerda e $\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $2$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 2$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Etapa 8.1.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x^{1}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Etapa 8.1.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Etapa 8.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Etapa 8.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e cuja soma é $b = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} - 3 (x) - 2}$

Etapa 8.1.2.1.2

Reescreva $- 3$ como $1$ mais $- 4$

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + (1 - 4) x - 2}$

Etapa 8.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2}$

Etapa 8.1.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{2 x^{2} + x - 4 x - 2}$

Etapa 8.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x^{2} + x) - 4 x - 2}$

Etapa 8.1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (x^{2} + 1)}{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)}$

Etapa 8.1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$\frac{x (x^{2} + 1)}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Etapa 8.2

Expanda $x (x^{2} + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Etapa 8.2.2

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Etapa 8.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Etapa 8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Etapa 8.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Etapa 8.2.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{(2 x + 1) (x - 2)}$

Etapa 8.3

Expanda $(2 x + 1) (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x}{2 x (x - 2) + 1 (x - 2)}$

Etapa 8.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 (x - 2)}$

Etapa 8.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.4

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.9

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.10

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 4 x + x - 2}$

Etapa 8.3.12

Some $- 4 x$ e $x$ .

$\frac{x^{3} + x}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Etapa 8.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Etapa 8.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Etapa 8.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Etapa 8.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - x$ .

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

Etapa 8.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

Etapa 8.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$\frac{x}{2}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Etapa 8.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $\frac{3 x^{2}}{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x^{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

Etapa 8.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Etapa 8.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4} - \frac{3}{2}$ .

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Etapa 8.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$\frac{x}{2}$

$\frac{3}{4}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$x$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$2 x$

$0$

$\frac{3 x^{2}}{2}$

$\frac{9 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{17 x}{4}$

$\frac{3}{2}$

Etapa 8.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{2} + \frac{3}{4} + \frac{\frac{17 x}{4} + \frac{3}{2}}{2 x^{2} - 3 x - 2}$

Etapa 8.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{1}{2}, 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{2} + \frac{3}{4}$

Etapa 10