Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ é indefinida.

$x = - 3, x = 3$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 3$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 3$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 3$

Etapa 3

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 3$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 3, 3$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 8.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

Etapa 8.1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2

Expanda $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.6

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.9

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.13

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.14

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.16

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.17

Subtraia $1 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.18

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.19

Subtraia $1 x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.20

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.3

Expanda $(x + 3) (x - 3)$ .

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Etapa 8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 1}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

Etapa 8.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

Etapa 8.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.4

Reordene $x$ e $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} - 1}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.9

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

Etapa 8.3.10

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 0 - 9}$

Etapa 8.3.11

Subtraia $9$ de $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 8.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 8.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Etapa 8.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 - 9 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Etapa 8.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Etapa 8.9

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$1$

Etapa 8.10

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + \frac{9 x - 1}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.11

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 3, 3$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x$

Etapa 10