Pré-cálculo Exemplos

$\tan (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$\frac{x}{2} = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (- \frac{π}{6})$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $2 (- \frac{π}{6})$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{6}$ para o numerador.

$x = 2 \frac{- π}{6}$

Etapa 4.2.1.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Etapa 4.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- π}{3}$

Etapa 4.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 5

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π$

Etapa 6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{6} - π$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Etapa 6.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{6}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{6} - π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6}$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Etapa 6.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{5 π}{6}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = 2 \frac{5 π}{2 (3)}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 7

Encontre o período de $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 7.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \cdot 2$

Etapa 7.5

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$2 π$

Etapa 8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 8.3

Combine frações.

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Etapa 8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 8.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 9

O período da função $\tan (\frac{x}{2})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as respostas.

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$