Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x) + \ln (x + 6) = 9$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 6)) = 9$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 6) = 9$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 6) = 9$

Etapa 1.3.2

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 6 x) = 9$

Etapa 2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + 6 x)} = e^{9}$

Etapa 3

Reescreva $\ln (x^{2} + 6 x) = 9$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{9} = x^{2} + 6 x$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 6 x = e^{9}$ .

$x^{2} + 6 x = e^{9}$

Etapa 4.2

Subtraia $e^{9}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 6 x - e^{9} = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 6$ e $c = - e^{9}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{9}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{9})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 1 e^{9})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 4 e^{9}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3

Reescreva $36 + 4 e^{9}$ como $2^{2} (9 + e^{9})$ .

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Etapa 4.5.1.3.1

Fatore $4$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 e^{9}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3.2

Fatore $4$ de $4 e^{9}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (e^{9})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (9) + 4 (e^{9})$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (9 + e^{9})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + e^{9})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{9 + e^{9}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{9 + e^{9}}}{2}$

Etapa 4.5.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{9 + e^{9}}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{9 + e^{9}}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 3 + \sqrt{9 + e^{9}}, - 3 - \sqrt{9 + e^{9}}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) + \ln (x + 6) = 9$ verdadeira.

$x = - 3 + \sqrt{9 + e^{9}}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 3 + \sqrt{9 + e^{9}}$

Forma decimal:

$x = 87.06710791 \dots$