Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x + 2) - \ln (x) = 2$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 2}{x}) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\ln (\frac{x + 2}{x}) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 2}{x}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x + 2 = e^{2} (x)$

Etapa 4

Multiplique $e^{2}$ por $x$ .

$x + 2 = e^{2} x$

Etapa 5

Subtraia $e^{2} x$ dos dois lados da equação.

$x + 2 - e^{2} x = 0$

Etapa 6

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x - e^{2} x = - 2$

Etapa 7

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1

Fatore $x$ de $x - e^{2} x$ .

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Etapa 7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x - e^{2} x = - 2$

Etapa 7.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{2} x = - 2$

Etapa 7.1.3

Fatore $x$ de $- e^{2} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - 2$

Etapa 7.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ .

$x (1 - e^{2}) = - 2$

Etapa 7.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x (1^{2} - e^{2}) = - 2$

Etapa 7.3

Fatore.

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Etapa 7.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - 2$

Etapa 7.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (1 + e) (1 - e) = - 2$

Etapa 8

Divida cada termo em $x (1 + e) (1 - e) = - 2$ por $1 - e^{2}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x (1 + e) (1 - e) = - 2$ por $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Etapa 8.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum de $1 + e$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Etapa 8.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum de $1 - e$ .

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Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Etapa 8.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{1 - e^{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \frac{- 2}{1^{2} - e^{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e$ .

$x = \frac{- 2}{(1 + e) (1 - e)}$

Etapa 8.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{(1 + e) (1 - e)}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{2}{(1 + e) (1 - e)}$

Forma decimal:

$x = 0.31303528 \dots$