Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{225} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{81} + \frac{y^{2}}{225} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 15$

$b = 9$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(15)}^{2} - {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$\sqrt{225 - {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\sqrt{225 - 1 \cdot 81}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$\sqrt{225 - 81}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $81$ de $225$ .

$\sqrt{144}$

Etapa 4.3.5

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$\sqrt{12^{2}}$

Etapa 4.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$12$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 5.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 12)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$(0, 12)$

Etapa 5.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 5.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (12))$

Etapa 5.6

Simplifique.

$(0, - 12)$

Etapa 5.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, 12)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 12)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 12)$

Etapa 6