Pré-cálculo Exemplos

${(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x} = \frac{1}{216}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x})$ como $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2}) + \ln (216^{3 x})$ .

$\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2}) + \ln (216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2})$ movendo $3 x + 2$ para fora do logaritmo.

$(3 x + 2) \ln (\frac{1}{6}) + \ln (216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (216^{3 x})$ movendo $3 x$ para fora do logaritmo.

$(3 x + 2) \ln (\frac{1}{6}) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 2.4

Reescreva $\ln (\frac{1}{6})$ como $\ln (1) - \ln (6)$ .

$(3 x + 2) (\ln (1) - \ln (6)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 2.5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$(3 x + 2) (0 - \ln (6)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 2.6

Reescreva $\ln (6)$ como $\ln (2 (3))$ .

$(3 x + 2) (0 - \ln (2 (3))) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 2.7

Reescreva $\ln (2 (3))$ como $\ln (2) + \ln (3)$ .

$(3 x + 2) (0 - (\ln (2) + \ln (3))) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x + 2) (0 - \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 2.9

Subtraia $\ln (2)$ de $0$ .

$(3 x + 2) (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Expanda $(3 x + 2) (- \ln (2) - \ln (3))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x (- \ln (2) - \ln (3)) + 2 (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x (- \ln (2)) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x (- \ln (2)) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 x \ln (2) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 3.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova $- 2 \ln (3)$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (3) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 4.2

Mova $- 2 \ln (2)$ .

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - \ln (\frac{1}{216}) = 0$

Etapa 6

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Some $2 \ln (2)$ aos dois lados da equação.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (3) - \ln (\frac{1}{216}) = 2 \ln (2)$

Etapa 6.2

Some $2 \ln (3)$ aos dois lados da equação.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - \ln (\frac{1}{216}) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Etapa 6.3

Some $\ln (\frac{1}{216})$ aos dois lados da equação.

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 7

Fatore $3 x$ de $- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $3 x$ de $- 3 x \ln (2)$ .

$3 x (- 1 \ln (2)) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 7.2

Fatore $3 x$ de $- 3 x \ln (3)$ .

$3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 7.3

Fatore $3 x$ de $3 x \ln (216)$ .

$3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 7.4

Fatore $3 x$ de $3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3))$ .

$3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 7.5

Fatore $3 x$ de $3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216)$ .

$3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 8

Reescreva $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$3 x (- \ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 9

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

Etapa 10

Divida cada termo em $3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$ por $3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida cada termo em $3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$ por $3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))$ .

$\frac{3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Etapa 10.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 10.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}{- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)} = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum de $- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 10.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

Forma decimal:

$x = - 0.1\overline{6}$