Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 3 x^{3} = 81 + 18 x - 5 x^{3}$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $18 x$ dos dois lados da equação.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x = 81 - 5 x^{3}$

Etapa 1.2

Some $5 x^{3}$ aos dois lados da equação.

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x + 5 x^{3} = 81$

Etapa 1.3

Some $- 3 x^{3}$ e $5 x^{3}$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x = 81$

Etapa 2

Subtraia $81$ dos dois lados da equação.

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x - 81 = 0$

Etapa 3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Reagrupe os termos.

$x^{4} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Etapa 3.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Etapa 3.3

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 9^{2} + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Etapa 3.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 9) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Etapa 3.5.2

Fatore.

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Etapa 3.5.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Etapa 3.5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

Etapa 3.6

Fatore $2 x$ de $2 x^{3} - 18 x$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Etapa 3.6.2

Fatore $2 x$ de $- 18 x$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Etapa 3.6.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 3.7

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 3.8

Fatore.

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Etapa 3.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 3.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 3.9

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

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Etapa 3.9.1

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 3.9.2

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x) = 0$

Etapa 3.9.3

Fatore $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x)$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9 + 2 x) = 0$

Etapa 3.10

Reordene os termos.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Etapa 5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

Defina $x^{2} + 2 x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x^{2} + 2 x + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x^{2} + 2 x + 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 9$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Etapa 7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.3

Subtraia $36$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.4

Reescreva $- 32$ como $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (32)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.7

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 7.2.3.1.7.1

Fatore $16$ de $32$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.7.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{2}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3, - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$