Pré-cálculo Exemplos

$8 {(1 + \frac{1}{t})}^{2} + 22 (1 + \frac{1}{t}) + 15 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $1 + \frac{1}{t}$ .

$8 u^{2} + 22 u + 15 = 0$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 8 \cdot 15 = 120$ e cuja soma é $b = 22$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $22$ de $22 u$ .

$8 u^{2} + 22 (u) + 15 = 0$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $22$ como $10$ mais $12$

$8 u^{2} + (10 + 12) u + 15 = 0$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 u^{2} + 10 u + 12 u + 15 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(8 u^{2} + 10 u) + 12 u + 15 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 u (4 u + 5) + 3 (4 u + 5) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u + 5$ .

$(4 u + 5) (2 u + 3) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \frac{1}{t}$ .

$(4 (1 + \frac{1}{t}) + 5) (2 (1 + \frac{1}{t}) + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 (1 + \frac{1}{t}) + 5 = 0$

$2 (1 + \frac{1}{t}) + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $4 (1 + \frac{1}{t}) + 5$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $4 (1 + \frac{1}{t}) + 5$ como igual a $0$ .

$4 (1 + \frac{1}{t}) + 5 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $4 (1 + \frac{1}{t}) + 5 = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $4 (1 + \frac{1}{t}) + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 \frac{1}{t} + 5 = 0$

Etapa 3.2.1.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4 \frac{1}{t} + 5 = 0$

Etapa 3.2.1.1.3

Combine $4$ e $\frac{1}{t}$ .

$4 + \frac{4}{t} + 5 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Some $4$ e $5$ .

$\frac{4}{t} + 9 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$\frac{4}{t} = - 9$

Etapa 3.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$t, 1$

Etapa 3.2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$t$

Etapa 3.2.4

Multiplique cada termo em $\frac{4}{t} = - 9$ por $t$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{t} = - 9$ por $t$ .

$\frac{4}{t} t = - 9 t$

Etapa 3.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{t} t = - 9 t$

Etapa 3.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$4 = - 9 t$

Etapa 3.2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Reescreva a equação como $- 9 t = 4$ .

$- 9 t = 4$

Etapa 3.2.5.2

Divida cada termo em $- 9 t = 4$ por $- 9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Divida cada termo em $- 9 t = 4$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 t}{- 9} = \frac{4}{- 9}$

Etapa 3.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 t}{- 9} = \frac{4}{- 9}$

Etapa 3.2.5.2.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{4}{- 9}$

Etapa 3.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{4}{9}$

Etapa 4

Defina $2 (1 + \frac{1}{t}) + 3$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $2 (1 + \frac{1}{t}) + 3$ como igual a $0$ .

$2 (1 + \frac{1}{t}) + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2 (1 + \frac{1}{t}) + 3 = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique $2 (1 + \frac{1}{t}) + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \frac{1}{t} + 3 = 0$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 \frac{1}{t} + 3 = 0$

Etapa 4.2.1.1.3

Combine $2$ e $\frac{1}{t}$ .

$2 + \frac{2}{t} + 3 = 0$

Etapa 4.2.1.2

Some $2$ e $3$ .

$\frac{2}{t} + 5 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$\frac{2}{t} = - 5$

Etapa 4.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$t, 1$

Etapa 4.2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$t$

Etapa 4.2.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{t} = - 5$ por $t$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{t} = - 5$ por $t$ .

$\frac{2}{t} t = - 5 t$

Etapa 4.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{t} t = - 5 t$

Etapa 4.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = - 5 t$

Etapa 4.2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Reescreva a equação como $- 5 t = 2$ .

$- 5 t = 2$

Etapa 4.2.5.2

Divida cada termo em $- 5 t = 2$ por $- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1

Divida cada termo em $- 5 t = 2$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{2}{- 5}$

Etapa 4.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{2}{- 5}$

Etapa 4.2.5.2.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{2}{- 5}$

Etapa 4.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{2}{5}$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(4 (1 + \frac{1}{t}) + 5) (2 (1 + \frac{1}{t}) + 3) = 0$ verdadeiro.

$t = - \frac{4}{9}, - \frac{2}{5}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$t = - \frac{4}{9}, - \frac{2}{5}$

Forma decimal:

$t = - 0.\overline{4}, - 0.4$