Pré-cálculo Exemplos

$2 \cos^{2} (t) - \cos (t) - 1 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (t)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\cos (t)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Etapa 1.2.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (t)$ .

$(2 \cos (t) + 1) (\cos (t) - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \cos (t) + 1 = 0$

$\cos (t) - 1 = 0$

Etapa 3

Defina $2 \cos (t) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 3.1

Defina $2 \cos (t) + 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (t) + 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2 \cos (t) + 1 = 0$ para $t$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \cos (t) = - 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (t) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (t) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $\cos (t)$ por $1$ .

$\cos (t) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (t) = - \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do cosseno.

$t = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$t = \frac{2 π}{3}$

Etapa 3.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$t = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 3.2.6

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 3.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 3.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 3.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 3.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$t = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 3.2.6.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$t = \frac{4 π}{3}$

Etapa 3.2.7

Encontre o período de $\cos (t)$ .

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Etapa 3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.8

O período da função $\cos (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\cos (t) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (t) - 1$ como igual a $0$ .

$\cos (t) - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (t) - 1 = 0$ para $t$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cos (t) = 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do cosseno.

$t = \arccos (1)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$t = 0$

Etapa 4.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$t = 2 π - 0$

Etapa 4.2.5

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$t = 2 π$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\cos (t)$ .

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Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.7

O período da função $\cos (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 \cos (t) + 1) (\cos (t) - 1) = 0$ verdadeiro.

$t = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

$t = \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$