Pré-cálculo Exemplos

$2^{2 x} + 2^{x} - 56 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $2^{2 x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} - 56 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = 2^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $2^{x}$ .

$u^{2} + u - 56 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} + u - 56$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 56$ e cuja soma é $1$ .

$- 7, 8$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 7) (u + 8) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2^{x}$ .

$(2^{x} - 7) (2^{x} + 8) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

$2^{x} + 8 = 0$

Etapa 3

Defina $2^{x} - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $2^{x} - 7$ como igual a $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2^{x} - 7 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$2^{x} = 7$

Etapa 3.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (7)$

Etapa 3.2.3

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (7)$

Etapa 3.2.4

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (7)$ por $\ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 3.2.4.1

Divida cada termo em $x \ln (2) = \ln (7)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Etapa 3.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 3.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Etapa 3.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Etapa 4

Defina $2^{x} + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $2^{x} + 8$ como igual a $0$ .

$2^{x} + 8 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2^{x} + 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$2^{x} = - 8$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 8)$

Etapa 4.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 8)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.4

Não há uma solução para $2^{x} = - 8$

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2^{x} - 7) (2^{x} + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 2.80735492 \dots$