Pré-cálculo Exemplos

$2^{x} + 16 (2^{- x}) = 10$

Etapa 1

Reescreva $2^{- x}$ como exponenciação.

$2^{x} + 16 \cdot {(2^{x})}^{- 1} = 10$

Etapa 2

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u + 16 \cdot u^{- 1} = 10$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 16 \cdot \frac{1}{u} = 10$

Etapa 3.2

Combine $16$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{16}{u} = 10$

Etapa 4

Resolva $u$ .

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Etapa 4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $u + \frac{16}{u} = 10$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{16}{u} = 10$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{16}{u} u = 10 u$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{16}{u} u = 10 u$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{16}{u} u = 10 u$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} + 16 = 10 u$

Etapa 4.3

Resolva a equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $10 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 16 - 10 u = 0$

Etapa 4.3.2

Fatore $u^{2} + 16 - 10 u$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $16$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 8, - 2$

Etapa 4.3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 8) (u - 2) = 0$

Etapa 4.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 2 = 0$

Etapa 4.3.4

Defina $u - 8$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Defina $u - 8$ como igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$u = 8$

Etapa 4.3.5

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.5.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 4.3.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 4.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 8) (u - 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 8, 2$

Etapa 5

Substitua $8$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Etapa 6

Resolva $8 = 2^{x}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Etapa 6.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{3}$

Etapa 6.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 3$

Etapa 7

Substitua $2$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$2 = 2^{x}$

Etapa 8

Resolva $2 = 2^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 2$ .

$2^{x} = 2$

Etapa 8.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{1}$

Etapa 8.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 1$

Etapa 9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = 3, 1$