Pré-cálculo Exemplos

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \frac{3 π}{4}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{3 π}{2 (2)}$

Etapa 4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{3 π}{4})$

Etapa 6.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{3 π}{4})$

Etapa 6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (2 π - \frac{3 π}{4})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $2 (2 π - \frac{3 π}{4})$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4})$

Etapa 6.2.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4})$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 6.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2 (2)}$

Etapa 6.2.2.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2.2.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2}$

Etapa 6.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{2}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Etapa 7

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 7.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 7.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 8

O período da função $\cos (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 4 π n, \frac{5 π}{2} + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$