Pré-cálculo Exemplos

$3 \cos (x) + 3 = 2 \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$3 \cos (x) = 2 \sin^{2} (x) - 3$

Etapa 2

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

${(3 \cos (x))}^{2} = {(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$

Etapa 3

Simplifique ${(3 \cos (x))}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $3 \cos (x)$ .

$3^{2} \cos^{2} (x) = {(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = {(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$

Etapa 4

Simplifique ${(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva ${(2 \sin^{2} (x) - 3)}^{2}$ como $(2 \sin^{2} (x) - 3) (2 \sin^{2} (x) - 3)$ .

$9 \cos^{2} (x) = (2 \sin^{2} (x) - 3) (2 \sin^{2} (x) - 3)$

Etapa 4.2

Expanda $(2 \sin^{2} (x) - 3) (2 \sin^{2} (x) - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 3) - 3 (2 \sin^{2} (x) - 3)$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x) - 3)$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.2.1

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Etapa 4.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 {\sin (x)}^{2 + 2} + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Etapa 4.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = 2 \cdot 2 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) \cdot - 3 - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 (2 \sin^{2} (x)) - 3 \cdot - 3$

Etapa 4.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 \cdot - 3$

Etapa 4.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) + 9$

Etapa 4.3.2

Subtraia $6 \sin^{2} (x)$ de $- 6 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) = 4 \sin^{4} (x) - 12 \sin^{2} (x) + 9$

Etapa 5

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $4 \sin^{4} (x)$ dos dois lados da equação.

$9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = - 12 \sin^{2} (x) + 9$

Etapa 5.2

Some $12 \sin^{2} (x)$ aos dois lados da equação.

$9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 9$

Etapa 5.3

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 6

Simplifique $9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) - 9$ .

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Etapa 6.1

Mova $- 9$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6.2

Reordene $9 \cos^{2} (x)$ e $- 9$ .

$- 9 + 9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6.3

Fatore $- 9$ de $- 9$ .

$- 9 (1) + 9 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6.4

Fatore $- 9$ de $9 \cos^{2} (x)$ .

$- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6.5

Fatore $- 9$ de $- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 9 (1 - \cos^{2} (x)) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- 9 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) + 12 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6.7

Some $- 9 \sin^{2} (x)$ e $12 \sin^{2} (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1.1

Reescreva $\sin^{4} (x)$ como ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

$3 \sin^{2} (x) - 4 {(\sin^{2} (x))}^{2} = 0$

Etapa 7.1.2

Deixe $u = \sin^{2} (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin^{2} (x)$ .

$3 u - 4 u^{2} = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore $u$ de $3 u - 4 u^{2}$ .

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Etapa 7.1.3.1

Fatore $u$ de $3 u$ .

$u \cdot 3 - 4 u^{2} = 0$

Etapa 7.1.3.2

Fatore $u$ de $- 4 u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- 4 u) = 0$

Etapa 7.1.3.3

Fatore $u$ de $u \cdot 3 + u (- 4 u)$ .

$u (3 - 4 u) = 0$

Etapa 7.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 7.3

Defina $\sin^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $\sin^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva $\sin^{2} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 7.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (x) = \pm 0$

Etapa 7.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 7.3.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 7.3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.3.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 7.3.2.6

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 7.3.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 7.3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.3.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.3.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.3.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.3.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.4

Defina $3 - 4 \sin^{2} (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $3 - 4 \sin^{2} (x)$ como igual a $0$ .

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

Etapa 7.4.2.2

Divida cada termo em $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 7.4.2.2.1

Divida cada termo em $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 7.4.2.2.2.1.2

Divida $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 7.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Etapa 7.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 7.4.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Etapa 7.4.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 7.4.2.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.4.2.4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 7.4.2.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.4.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7.4.2.7

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 7.4.2.7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.4.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.2.7.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 7.4.2.7.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Etapa 7.4.2.7.4

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 7.4.2.7.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.4.2.7.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.7.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.4.2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 7.4.2.7.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.7.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 7.4.2.7.4.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 7.4.2.7.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 7.4.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.4.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.4.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.4.2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.4.2.7.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.4.2.8

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 7.4.2.8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.4.2.8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.2.8.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 7.4.2.8.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 7.4.2.8.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.4.2.8.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 7.4.2.8.4.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.4.2.8.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 7.4.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.4.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.4.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.4.2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.4.2.8.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.8.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 7.4.2.8.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.4.2.8.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.8.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 7.4.2.8.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 7.4.2.8.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.8.6.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 7.4.2.8.6.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 7.4.2.8.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 7.4.2.8.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.4.2.9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.4.2.10

Consolide as soluções.

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Etapa 7.4.2.10.1

Consolide $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.4.2.10.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $\sin^{2} (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

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Etapa 8.1

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Verifique as soluções, substituindo-as em $3 \cos (x) + 3 = 2 \sin^{2} (x)$ e resolvendo.

$x = \frac{2 π}{3} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$