Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - x + 6 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - x + 6$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 1.1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} + 2 {(- 2)}^{2} - - 2 + 6$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{3} + 2 {(- 2)}^{2} - - 2 + 6$

Etapa 1.1.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$16 + 4 \cdot - 8 + 2 {(- 2)}^{2} - - 2 + 6$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$16 - 32 + 2 {(- 2)}^{2} - - 2 + 6$

Etapa 1.1.3.5

Subtraia $32$ de $16$ .

$- 16 + 2 {(- 2)}^{2} - - 2 + 6$

Etapa 1.1.3.6

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 16 + 2 \cdot 4 - - 2 + 6$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$- 16 + 8 - - 2 + 6$

Etapa 1.1.3.8

Some $- 16$ e $8$ .

$- 8 - - 2 + 6$

Etapa 1.1.3.9

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 8 + 2 + 6$

Etapa 1.1.3.10

Some $- 8$ e $2$ .

$- 6 + 6$

Etapa 1.1.3.11

Some $- 6$ e $6$ .

$0$

Etapa 1.1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - x + 6}{x + 2}$

Etapa 1.1.5

Divida $x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - x + 6$ por $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

Etapa 1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} + 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Etapa 1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Etapa 1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

Etapa 1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Etapa 1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} - 4 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Etapa 1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$3 x$

Etapa 1.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$6$

Etapa 1.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$6$

Etapa 1.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$6$

$3 x$

$6$

Etapa 1.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x + 6$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$6$

$3 x$

$6$

Etapa 1.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$3$

$x$

$2$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$6$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$3 x$

$6$

$3 x$

$6$

$0$

Etapa 1.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 3$

Etapa 1.1.6

Escreva $x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} - x + 6$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) (x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Etapa 1.2

Fatore $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 3$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 3$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Etapa 1.2.1.3

Substitua $- 3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 3$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.3.1

Substitua $- 3$ no polinômio.

${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.2.1.3.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.2.1.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 27 + 2 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.2.1.3.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$- 27 + 18 - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.2.1.3.5

Some $- 27$ e $18$ .

$- 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Etapa 1.2.1.3.6

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$- 9 + 6 + 3$

Etapa 1.2.1.3.7

Some $- 9$ e $6$ .

$- 3 + 3$

Etapa 1.2.1.3.8

Some $- 3$ e $3$ .

$0$

Etapa 1.2.1.4

Como $- 3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 3}{x + 3}$

Etapa 1.2.1.5

Divida $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 3$ por $x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$3$

Etapa 1.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$

Etapa 1.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Etapa 1.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Etapa 1.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 1.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 1.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Etapa 1.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Etapa 1.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$

Etapa 1.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$

Etapa 1.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$

Etapa 1.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$
							+	$x$	+	$3$

Etapa 1.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 3$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$

Etapa 1.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$1$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$3$
							-	$x$	-	$3$
										$0$

Etapa 1.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x + 1$

Etapa 1.2.1.6

Escreva $x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 3$ como um conjunto de fatores.

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x + 3) (x^{2} - x + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x^{2} - x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x^{2} - x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x + 3) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 3, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$