Pré-cálculo Exemplos

$2 e^{2 x} + 5 e^{x} - 3 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} + 5 e^{x} - 3 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$2 u^{2} + 5 u - 3 = 0$

Etapa 1.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $5$ de $5 u$ .

$2 u^{2} + 5 (u) - 3 = 0$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3 = 0$

Etapa 1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3 = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 u^{2} - 1 u) + 6 u - 3 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1) = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 3) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} + 3) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} + 3 = 0$

Etapa 3

Defina $2 e^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $2 e^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2 e^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 e^{x} = 1$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $2 e^{x} = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $2 e^{x} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 4

Defina $e^{x} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $e^{x} + 3$ como igual a $0$ .

$e^{x} + 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $e^{x} + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$e^{x} = - 3$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 3)$

Etapa 4.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 3)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.4

Não há uma solução para $e^{x} = - 3$

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 e^{x} - 1) (e^{x} + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Forma decimal:

$x = - 0.69314718 \dots$