Pré-cálculo Exemplos

$2 \ln (x) = \ln (3) + \ln (x + 6)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (x^{2}) = \ln (3) + \ln (x + 6)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $\ln (3) + \ln (x + 6)$ .

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Etapa 2.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (3 (x + 6))$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x^{2}) = \ln (3 x + 3 \cdot 6)$

Etapa 2.1.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (3 x + 18)$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} = 3 x + 18$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x = 18$

Etapa 4.2

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Etapa 4.3

Fatore $x^{2} - 3 x - 18$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 6, 3$

Etapa 4.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Etapa 4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 4.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4.6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 4.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 3$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $2 \ln (x) = \ln (3) + \ln (x + 6)$ verdadeira.

$x = 6$