Pré-cálculo Exemplos

$27 = 3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 27$ .

$3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 27$

Etapa 2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$3^{5 x} \cdot {(3^{2})}^{x^{2}} = 27$

Etapa 3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{5 x} \cdot 3^{2 x^{2}} = 27$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 27$

Etapa 5

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 3^{3}$

Etapa 6

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$5 x + 2 x^{2} = 3$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$5 x + 2 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 7.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.2.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$5 u + 2 u^{2} - 3 = 0$

Etapa 7.2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 7.2.2.1

Reordene os termos.

$2 u^{2} + 5 u - 3 = 0$

Etapa 7.2.2.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 7.2.2.2.1

Fatore $5$ de $5 u$ .

$2 u^{2} + 5 (u) - 3 = 0$

Etapa 7.2.2.2.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3 = 0$

Etapa 7.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3 = 0$

Etapa 7.2.2.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 7.2.2.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 u^{2} - 1 u) + 6 u - 3 = 0$

Etapa 7.2.2.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1) = 0$

Etapa 7.2.2.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 3) = 0$

Etapa 7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 7.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 7.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 7.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 7.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 7.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 7.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Forma decimal:

$x = 0.5, - 3$