Pré-cálculo Exemplos

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

Etapa 1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(x + 1) (x - 1), 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$(x + 1) (x - 1)$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ por $(x + 1) (x - 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Etapa 3.2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Etapa 3.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.2.3.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.2.3.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.2.3.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Etapa 3.2.3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

Etapa 3.2.3.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

Etapa 3.2.3.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

Etapa 3.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Etapa 3.2.3.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$8 x = 3 x^{2} - 3$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

Etapa 3.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $- 1$ de $8 x - 3 x^{2} + 3$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Reordene $8 x$ e $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

Etapa 3.3.3.1.2

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

Etapa 3.3.3.1.3

Fatore $- 1$ de $8 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

Etapa 3.3.3.1.4

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 3.3.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 3.3.3.1.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Etapa 3.3.3.2

Fatore.

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Etapa 3.3.3.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 x$ .

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

Etapa 3.3.3.2.1.1.2

Reescreva $- 8$ como $1$ mais $- 9$

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

Etapa 3.3.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

Etapa 3.3.3.2.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.3.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

Etapa 3.3.3.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

Etapa 3.3.3.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

Etapa 3.3.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

Etapa 3.3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 3.3.5

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.5.1

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Etapa 3.3.5.2

Resolva $3 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.3.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 1$

Etapa 3.3.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 3.3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 3.3.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Etapa 3.3.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.3.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.3.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ verdadeira.

$x = 3$