Pré-cálculo Exemplos

$\log_{4} (x^{2} + 3 x) - \log_{4} (x + 5) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 3 x}{x + 5}) = 1$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + 3 x}{x + 5}) = 1$

Etapa 1.2.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{x + 5}) = 1$

Etapa 1.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{x (x + 3)}{x + 5}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x (x + 3) = 4 (x + 5)$

Etapa 4

Simplifique $4 (x + 5)$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 3) = 4 x + 4 \cdot 5$

Etapa 4.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$x (x + 3) = 4 x + 20$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$x (x + 3) - 4 x = 20$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Etapa 5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 - 4 x = 20$

Etapa 5.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 3 x - 4 x = 20$

Etapa 5.3

Subtraia $4 x$ de $3 x$ .

$x^{2} - x = 20$

Etapa 6

Fatore $x$ de $x^{2} - x$ .

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Etapa 6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 20$

Etapa 6.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Etapa 6.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 20$

Etapa 7

Simplifique $x (x - 1)$ .

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Etapa 7.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

Etapa 7.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 20$

Etapa 7.1.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 20$

Etapa 7.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x = 20$

Etapa 8

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Etapa 9

Fatore $x^{2} - x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 5, 4$

Etapa 9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 11

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 11.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 12

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 4$