Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (4 x + 12) - \log_{5} (x - 13) = 3$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x + 12}{x - 13}) = 3$

Etapa 1.2

Fatore $4$ de $4 x + 12$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\log_{5} (\frac{4 (x) + 12}{x - 13}) = 3$

Etapa 1.2.2

Fatore $4$ de $12$ .

$\log_{5} (\frac{4 x + 4 \cdot 3}{x - 13}) = 3$

Etapa 1.2.3

Fatore $4$ de $4 x + 4 \cdot 3$ .

$\log_{5} (\frac{4 (x + 3)}{x - 13}) = 3$

Etapa 2

Reescreva $\log_{5} (\frac{4 (x + 3)}{x - 13}) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = \frac{4 (x + 3)}{x - 13}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$4 (x + 3) = 5^{3} (x - 13)$

Etapa 4

Simplifique $5^{3} (x - 13)$ .

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Etapa 4.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$4 (x + 3) = 125 (x - 13)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x + 3) = 125 x + 125 \cdot - 13$

Etapa 4.3

Multiplique $125$ por $- 13$ .

$4 (x + 3) = 125 x - 1625$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $125 x$ dos dois lados da equação.

$4 (x + 3) - 125 x = - 1625$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot 3 - 125 x = - 1625$

Etapa 5.2.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$4 x + 12 - 125 x = - 1625$

Etapa 5.3

Subtraia $125 x$ de $4 x$ .

$- 121 x + 12 = - 1625$

Etapa 6

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$- 121 x = - 1625 - 12$

Etapa 6.2

Subtraia $12$ de $- 1625$ .

$- 121 x = - 1637$

Etapa 7

Divida cada termo em $- 121 x = - 1637$ por $- 121$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $- 121 x = - 1637$ por $- 121$ .

$\frac{- 121 x}{- 121} = \frac{- 1637}{- 121}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $- 121$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 121 x}{- 121} = \frac{- 1637}{- 121}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1637}{- 121}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1637}{121}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1637}{121}$

Forma decimal:

$x = 13.52892561 \dots$

Forma de número misto:

$x = 13 \frac{64}{121}$