Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (x) = 2 - \log_{3} (x - 8)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x - 8) = 2$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (x - 8)) = 2$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 8) = 2$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot - 8) = 2$

Etapa 4.2

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{3} (x^{2} - 8 x) = 2$

Etapa 5

Reescreva $\log_{3} (x^{2} - 8 x) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x^{2} - 8 x$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 8 x = 3^{2}$ .

$x^{2} - 8 x = 3^{2}$

Etapa 6.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x^{2} - 8 x = 9$

Etapa 6.3

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 8 x - 9 = 0$

Etapa 6.4

Fatore $x^{2} - 8 x - 9$ usando o método AC.

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Etapa 6.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 9$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 9, 1$

Etapa 6.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 9) (x + 1) = 0$

Etapa 6.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 6.6

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.6.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 6.6.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 6.7

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.7.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 9) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 9, - 1$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (x) = 2 - \log_{3} (x - 8)$ verdadeira.

$x = 9$