Pré-cálculo Exemplos

$\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} (x (x - 3)) = 2$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot - 3) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot - 3) = 2$

Etapa 1.3.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log_{6} (x^{2} - 3 x) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{2} = x^{2} - 3 x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 3 x = 6^{2}$ .

$x^{2} - 3 x = 6^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x^{2} - 3 x = 36$

Etapa 3.3

Subtraia $36$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 36 = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 36$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 36)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 36$ .

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Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 36$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 144}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Some $9$ e $144$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $153$ como $3^{2} \cdot 17$ .

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Etapa 3.6.1.4.1

Fatore $9$ de $153$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 \sqrt{17}}{2}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 3) = 2$ verdadeira.

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{3 + 3 \sqrt{17}}{2}$

Forma decimal:

$x = 7.68465843 \dots$