Pré-cálculo Exemplos

$\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$

Etapa 1

Reescreva $\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{3} = \frac{1}{27}$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $\frac{1}{27}$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{27}$ como ${(\frac{1}{3})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Etapa 2.2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = \frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Etapa 2.2.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Etapa 2.2.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - \frac{1}{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - \frac{1}{3}$ como igual a $0$ .

$x - \frac{1}{3} = 0$

Etapa 2.4.2

Some $\frac{1}{3}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ como igual a $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $9$ . Depois, simplifique.

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Etapa 2.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 2.5.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.5.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.5.2.1.2.1.1

Fatore $3$ de $9$ .

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 2.5.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 2.5.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 2.5.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 2.5.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Etapa 2.5.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.3

Substitua os valores $a = 9$ , $b = 3$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Etapa 2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.5.2.4.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Etapa 2.5.2.4.3

Simplifique $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.5.2.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$