Pré-cálculo Exemplos

$\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((x + 6) (x + 3)) = 2$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 6) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{9} (x (x + 3) + 6 (x + 3)) = 2$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 (x + 3)) = 2$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $6$ por $3$ .

$\log_{9} (x^{2} + 3 x + 6 x + 18) = 2$

Etapa 1.3.2

Some $3 x$ e $6 x$ .

$\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{2} = x^{2} + 9 x + 18$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 81$

Etapa 3.3

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $81$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 9 x + 18 - 81 = 0$

Etapa 3.3.2

Subtraia $81$ de $18$ .

$x^{2} + 9 x - 63 = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 9$ e $c = - 63$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Etapa 3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 63$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 252}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Some $81$ e $252$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{333}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Reescreva $333$ como $3^{2} \cdot 37$ .

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Etapa 3.6.1.4.1

Fatore $9$ de $333$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (37)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}, - \frac{9 + 3 \sqrt{37}}{2}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$ verdadeira.

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

Forma decimal:

$x = 4.62414379 \dots$