Pré-cálculo Exemplos

$e^{x} - 9 + 20 e^{- x} = 0$

Etapa 1

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$e^{x} - 9 + 20 {(e^{x})}^{- 1} = 0$

Etapa 2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u - 9 + 20 u^{- 1} = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 9 + 20 (\frac{1}{u}) = 0$

Etapa 3.2

Combine $20$ e $\frac{1}{u}$ .

$u - 9 + \frac{20}{u} = 0$

Etapa 4

Resolva $u$ .

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Etapa 4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 1, u, 1$

Etapa 4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em $u - 9 + \frac{20}{u} = 0$ por $u$ .

$u \cdot u - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} - 9 u + \frac{20}{u} u = 0 u$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} - 9 u + 20 = 0 u$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Multiplique $0$ por $u$ .

$u^{2} - 9 u + 20 = 0$

Etapa 4.3

Resolva a equação.

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Etapa 4.3.1

Fatore $u^{2} - 9 u + 20$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $20$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 5, - 4$

Etapa 4.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 5) (u - 4) = 0$

Etapa 4.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

$u - 4 = 0$

Etapa 4.3.3

Defina $u - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.3.1

Defina $u - 5$ como igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Etapa 4.3.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u = 5$

Etapa 4.3.4

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 4.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 5) (u - 4) = 0$ verdadeiro.

$u = 5, 4$

Etapa 5

Substitua $5$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$5 = e^{x}$

Etapa 6

Resolva $5 = e^{x}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 5$ .

$e^{x} = 5$

Etapa 6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Etapa 6.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Etapa 6.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Etapa 6.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (5)$

Etapa 7

Substitua $4$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$4 = e^{x}$

Etapa 8

Resolva $4 = e^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 4$ .

$e^{x} = 4$

Etapa 8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Etapa 8.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Etapa 8.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Etapa 8.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (4)$

Etapa 9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (5), \ln (4)$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (5), \ln (4)$

Forma decimal:

$x = 1.60943791 \dots, 1.38629436 \dots$