Pré-cálculo Exemplos

$e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 32 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $e^{4 x}$ como ${(e^{2 x})}^{2}$ .

${(e^{2 x})}^{2} + 4 e^{2 x} - 32 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = e^{2 x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{2 x}$ .

$u^{2} + 4 u - 32 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} + 4 u - 32$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 32$ e cuja soma é $4$ .

$- 4, 8$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u + 8) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{2 x}$ .

$(e^{2 x} - 4) (e^{2 x} + 8) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{2 x} - 4 = 0$

$e^{2 x} + 8 = 0$

Etapa 3

Defina $e^{2 x} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $e^{2 x} - 4$ como igual a $0$ .

$e^{2 x} - 4 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $e^{2 x} - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$e^{2 x} = 4$

Etapa 3.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (4)$

Etapa 3.2.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.3.1

Expanda $\ln (e^{2 x})$ movendo $2 x$ para fora do logaritmo.

$2 x \ln (e) = \ln (4)$

Etapa 3.2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 x \cdot 1 = \ln (4)$

Etapa 3.2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x = \ln (4)$

Etapa 3.2.4

Divida cada termo em $2 x = \ln (4)$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.2.4.1

Divida cada termo em $2 x = \ln (4)$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (4)}{2}$

Etapa 3.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (4)}{2}$

Etapa 3.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{2}$

Etapa 3.2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.3.1

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$x = \frac{\ln (2^{2})}{2}$

Etapa 3.2.4.3.2

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$x = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Etapa 3.2.4.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \ln (2)}{2}$

Etapa 3.2.4.3.3.2

Divida $\ln (2)$ por $1$ .

$x = \ln (2)$

Etapa 4

Defina $e^{2 x} + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $e^{2 x} + 8$ como igual a $0$ .

$e^{2 x} + 8 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $e^{2 x} + 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$e^{2 x} = - 8$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (- 8)$

Etapa 4.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 8)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.4

Não há uma solução para $e^{2 x} = - 8$

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(e^{2 x} - 4) (e^{2 x} + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = \ln (2)$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (2)$

Forma decimal:

$x = 0.69314718 \dots$