Pré-cálculo Exemplos

$e^{2 x} - 4 e^{x} = 5$

Etapa 1

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

${(e^{x})}^{2} - 4 e^{x} = 5$

Etapa 2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u^{2} - 4 u = 5$

Etapa 3

Resolva $u$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $u^{2} - 4 u - 5$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $u - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $u - 5$ como igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u = 5$

Etapa 3.5

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 5) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 5, - 1$

Etapa 4

Substitua $5$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$5 = e^{x}$

Etapa 5

Resolva $5 = e^{x}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 5$ .

$e^{x} = 5$

Etapa 5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Etapa 5.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Etapa 5.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Etapa 5.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (5)$

Etapa 6

Substitua $- 1$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- 1 = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $- 1 = e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - 1$ .

$e^{x} = - 1$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

Etapa 7.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 1)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 7.4

Não há uma solução para $e^{x} = - 1$

Nenhuma solução

Etapa 8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (5)$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (5)$

Forma decimal:

$x = 1.60943791 \dots$