Pré-cálculo Exemplos

$5^{x} + 125 (5^{- x}) = 30$

Etapa 1

Reescreva $5^{- x}$ como exponenciação.

$5^{x} + 125 \cdot {(5^{x})}^{- 1} = 30$

Etapa 2

Substitua $u$ por $5^{x}$ .

$u + 125 \cdot u^{- 1} = 30$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 125 \cdot \frac{1}{u} = 30$

Etapa 3.2

Combine $125$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{125}{u} = 30$

Etapa 4

Resolva $u$ .

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Etapa 4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $u + \frac{125}{u} = 30$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{125}{u} = 30$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{125}{u} u = 30 u$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} + 125 = 30 u$

Etapa 4.3

Resolva a equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $30 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 125 - 30 u = 0$

Etapa 4.3.2

Fatore $u^{2} + 125 - 30 u$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $125$ e cuja soma é $- 30$ .

$- 25, - 5$

Etapa 4.3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 25) (u - 5) = 0$

Etapa 4.3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 25 = 0$

$u - 5 = 0$

Etapa 4.3.4

Defina $u - 25$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Defina $u - 25$ como igual a $0$ .

$u - 25 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $25$ aos dois lados da equação.

$u = 25$

Etapa 4.3.5

Defina $u - 5$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.3.5.1

Defina $u - 5$ como igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Etapa 4.3.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$u = 5$

Etapa 4.3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 25) (u - 5) = 0$ verdadeiro.

$u = 25, 5$

Etapa 5

Substitua $25$ por $u$ em $u = 5^{x}$ .

$25 = 5^{x}$

Etapa 6

Resolva $25 = 5^{x}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $5^{x} = 25$ .

$5^{x} = 25$

Etapa 6.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$5^{x} = 5^{2}$

Etapa 6.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 2$

Etapa 7

Substitua $5$ por $u$ em $u = 5^{x}$ .

$5 = 5^{x}$

Etapa 8

Resolva $5 = 5^{x}$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $5^{x} = 5$ .

$5^{x} = 5$

Etapa 8.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$5^{x} = 5^{1}$

Etapa 8.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 1$

Etapa 9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = 2, 1$