Pré-cálculo Exemplos

$5^{x + 2} = 7^{x - 2}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (5^{x + 2}) = \ln (7^{x - 2})$

Etapa 2

Expanda $\ln (5^{x + 2})$ movendo $x + 2$ para fora do logaritmo.

$(x + 2) \ln (5) = \ln (7^{x - 2})$

Etapa 3

Expanda $\ln (7^{x - 2})$ movendo $x - 2$ para fora do logaritmo.

$(x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Simplifique $(x + 2) \ln (5)$ .

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Etapa 4.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Etapa 4.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(x + 2) \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (5) + 2 \ln (5) = (x - 2) \ln (7)$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (5) + 2 \ln (5) = x \ln (7) - 2 \ln (7)$

Etapa 4.3

Subtraia $x \ln (7)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (5) + 2 \ln (5) - x \ln (7) = - 2 \ln (7)$

Etapa 4.4

Subtraia $2 \ln (5)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (5) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Etapa 4.5

Fatore $x$ de $x \ln (5) - x \ln (7)$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $x$ de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) - x \ln (7) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Etapa 4.5.2

Fatore $x$ de $- x \ln (7)$ .

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Etapa 4.5.3

Fatore $x$ de $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (7))$ .

$x (\ln (5) - 1 \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Etapa 4.6

Reescreva $- 1 \ln (7)$ como $- \ln (7)$ .

$x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$

Etapa 4.7

Divida cada termo em $x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ por $\ln (5) - \ln (7)$ e simplifique.

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Etapa 4.7.1

Divida cada termo em $x (\ln (5) - \ln (7)) = - 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ por $\ln (5) - \ln (7)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (7))}{\ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.7.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5) - \ln (7)$ .

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Etapa 4.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (7))}{\ln (5) - \ln (7)} = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (7)}{\ln (5) - \ln (7)} + \frac{- 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.7.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- 2 \ln (7) - 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.3.2

Fatore $2$ de $- 2 \ln (7) - 2 \ln (5)$ .

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Etapa 4.7.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2 \ln (7)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7)) - 2 \ln (5)}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.3.2.2

Fatore $2$ de $- 2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.3.2.3

Fatore $2$ de $2 (- \ln (7)) + 2 (- \ln (5))$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.3.3

Fatore $- 1$ de $- \ln (7)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.3.4

Fatore $- 1$ de $- \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (- \ln (7) - \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.3.5

Fatore $- 1$ de $- \ln (7) - \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (- (\ln (7) + \ln (5)))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.7.3.6.1

Reescreva $- (\ln (7) + \ln (5))$ como $- 1 (\ln (7) + \ln (5))$ .

$x = \frac{2 (- 1 (\ln (7) + \ln (5)))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 4.7.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{2 (\ln (7) + \ln (5))}{\ln (5) - \ln (7)}$

Forma decimal:

$x = 21.13308424 \dots$