Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sin (u) (1 + \cos (u))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ por $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ .

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ por $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ .

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{(1 + \cos (u)) \sin (u)}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $(1 + \cos (u)) \sin (u)$ .

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Expanda $(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (1 + \cos (u)) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $\cos (u)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $\cos (u)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $\cos (u) \cos (u)$ .

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Etapa 5.2.1.4.1

Eleve $\cos (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.2.1.4.2

Eleve $\cos (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.2.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + {\cos (u)}^{1 + 1} + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.2.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.2.2

Some $\cos (u)$ e $\cos (u)$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.3

Multiplique $\sin (u) \sin (u)$ .

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Etapa 5.3.1

Eleve $\sin (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.3.2

Eleve $\sin (u)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + {\sin (u)}^{1 + 1}}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.4

Reescreva $1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.4.1

Reorganize os termos.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \sin^{2} (u) + \cos^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.4.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1 + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.4.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.4.4

Fatore $2$ de $2 + 2 \cos (u)$ .

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Etapa 5.4.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 5.4.4.2

Fatore $2$ de $2 \cdot 1 + 2 \cos (u)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $1 + \cos (u)$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

Etapa 6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{\sin (u)}$

Etapa 7

Separe as frações.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (u)}$

Etapa 8

Converta de $\frac{1}{\sin (u)}$ em $\csc (u)$ .

$\frac{2}{1} \csc (u)$

Etapa 9

Divida $2$ por $1$ .

$2 \csc (u)$