Pré-cálculo Exemplos

$\cos (\frac{7 π}{12}) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (\frac{7 π}{12})$ é $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.3

Altere o $\pm$ para $-$ , porque o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4

Simplifique $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 1.1.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.1.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3

Multiplique $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4

O valor exato de $\sin (\frac{7 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Reescreva $\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no segundo quadrante.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 1.4.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.4.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.7

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.4.4.7.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.4.4.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.4.4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.6

Multiplique $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}}{4} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Etapa 2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Etapa 2.2

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}$ .

$\frac{- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}) - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Etapa 2.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}) - (\sqrt{2 + \sqrt{3}})}{4}$

Etapa 2.4

Fatore $- 1$ de $- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})}) - (\sqrt{2 + \sqrt{3}})$ .

$\frac{- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})}{4}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $- (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ como $- 1 (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}})}{4}$

Etapa 2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{3 (2 - \sqrt{3})} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{4}$

Forma decimal:

$- 0.70710678 \dots$