Pré-cálculo Exemplos

$\frac{3}{x^{2} - 3 x}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{3}{x \cdot x - 3 x}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{3}{x \cdot x + x \cdot - 3}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{3}{x (x - 3)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x - 3)$ .

$\frac{3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.5.2

Divida $3$ por $1$ .

$3 = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$3 = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A (x - 3)$ por $1$ .

$3 = A (x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.6.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$3 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$3 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{x - 3}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$3 = A x - 3 A + (B) (x)$

$3 = A x - 3 A + B x$

Etapa 1.7

Mova $- 3 A$ .

$3 = A x + B x - 3 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = - 3 A$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$3 = - 3 A$

$0 = A + B$

$3 = - 3 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $3 = - 3 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $- 3 A = 3$ .

$- 3 A = 3$

$0 = A + B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $- 3 A = 3$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $- 3 A = 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $3$ por $- 3$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = - 1 + B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Etapa 3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 A = - 1$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = 1, A = - 1$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3}$