Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 11 x - 18}{x (x^{2} + 3 x + 3)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x^{2} + 3 x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x (x^{2} + 3 x + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3 x + 3$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} - 11 x - 18) (x^{2} + 3 x + 3)}{x^{2} + 3 x + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.4.2

Divida $x^{2} - 11 x - 18$ por $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - 11 x - 18 = \frac{A (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A (x^{2} + 3 x + 3)$ por $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A (x^{2} + 3 x + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.5.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3 x + 3$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3 x + 3))}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 1.5.4.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + (B x + C) (x)$

Etapa 1.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x \cdot x + C x$

Etapa 1.5.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.5.6.1

Mova $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 1.5.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 A x + 3 A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.1

Mova $A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.6.2

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + 3 A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.6.3

Mova $3 A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} + C x + 3 A$

Etapa 1.6.4

Mova $3 x A$ .

$x^{2} - 11 x - 18 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A + C x + 3 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 11 = 3 A + C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 18 = 3 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$- 18 = 3 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $- 18 = 3 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $3 A = - 18$ .

$3 A = - 18$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $3 A = - 18$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $3 A = - 18$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = \frac{- 18}{3}$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $- 18$ por $3$ .

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

$A = - 6$

$1 = A + B$

$- 11 = 3 A + C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 6$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B$ por $- 6$ .

$1 = (- 6) + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = 3 A + C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 11 = 3 A + C$ por $- 6$ .

$- 11 = 3 (- 6) + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$- 11 = - 18 + C$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Etapa 3.3

Resolva $C$ em $- 11 = - 18 + C$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 18 + C = - 11$ .

$- 18 + C = - 11$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $18$ aos dois lados da equação.

$C = - 11 + 18$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 11$ e $18$ .

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

$C = 7$

$1 = - 6 + B$

$A = - 6$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $7$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $- 6 + B = 1$ .

$- 6 + B = 1$

$C = 7$

$A = - 6$

Etapa 3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$B = 1 + 6$

$C = 7$

$A = - 6$

Etapa 3.4.2.2

Some $1$ e $6$ .

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

$B = 7$

$C = 7$

$A = - 6$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = 7, C = 7, A = - 6$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$

Etapa 5

Multiplique $7$ por $x$ .

$\frac{- 6}{x} + \frac{7 x + 7}{x^{2} + 3 x + 3}$