Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x^{3} - 4 x}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} - 4 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 4)}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x^{2} - 2^{2})}$

Etapa 1.1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Etapa 1.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{x^{2} + 12 x + 12}{x (x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.7

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} + 12 x + 12) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.7.2

Divida $x^{2} + 12 x + 12$ por $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 12 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.1.2

Divida $A ((x + 2) (x - 2))$ por $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A ((x + 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.2

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.3

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.3.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.3.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.3.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.4.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A (x^{2} - 4) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.6

Mova $- 4$ para a esquerda de $A$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.7

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.7.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + \frac{B (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.7.2

Divida $(B) (x (x - 2))$ por $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + (B) (x (x - 2)) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.8

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.10

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} - 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.11

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} + B (- 2 x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.13

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.13.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{C (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Etapa 1.8.13.2

Divida $(C) (x (x + 2))$ por $1$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + (C) (x (x + 2))$

Etapa 1.8.14

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot 2)$

Etapa 1.8.15

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + x \cdot 2)$

Etapa 1.8.16

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + 2 \cdot x)$

Etapa 1.8.17

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + C (2 x)$

Etapa 1.8.18

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + 2 C x$

Etapa 1.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Mova $B$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x$

Etapa 1.9.2

Mova $- 4 A$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x - 4 A$

Etapa 1.9.3

Mova $- 2 x B$ .

$x^{2} + 12 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x B + 2 C x - 4 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B + C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$12 = - 4 A$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $A$ em $12 = - 4 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $- 4 A = 12$ .

$- 4 A = 12$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $- 4 A = 12$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $- 4 A = 12$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Divida $12$ por $- 4$ .

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$1 = A + B + C$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 3$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = A + B + C$ por $- 3$ .

$1 = (- 3) + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $1 = - 3 + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 3 + B + C = 1$ .

$- 3 + B + C = 1$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$B + C = 1 + 3$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = 1 + 3 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.3.2.3

Some $1$ e $3$ .

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 2 B + 2 C$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $4 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $12 = - 2 B + 2 C$ por $4 - C$ .

$12 = - 2 (4 - C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 2 (4 - C) + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$12 = - 2 \cdot 4 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$12 = - 8 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 2 C + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.4.2.1.2

Some $2 C$ e $2 C$ .

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$12 = - 8 + 4 C$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.5

Resolva $C$ em $12 = - 8 + 4 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $- 8 + 4 C = 12$ .

$- 8 + 4 C = 12$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$4 C = 12 + 8$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.5.2.2

Some $12$ e $8$ .

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$4 C = 20$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $4 C = 20$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $4 C = 20$ por $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 C}{4} = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{20}{4}$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Divida $20$ por $4$ .

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

$C = 5$

$B = 4 - C$

$A = - 3$

Etapa 3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $5$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = 4 - C$ por $5$ .

$B = 4 - (5)$

$C = 5$

$A = - 3$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Simplifique $4 - (5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$B = 4 - 5$

$C = 5$

$A = - 3$

Etapa 3.6.2.1.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

$B = - 1$

$C = 5$

$A = - 3$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$B = - 1, C = 5, A = - 3$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{- 1}{x + 2} + \frac{5}{x - 2}$